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ジョルダン開曲線の存在の証明はこれで正しい?

確認させて戴きたいことが有ります。

n次元複素空間C^nに於いて,
a∈C^nに対して,B[a,1/k):={z∈C^n;|z-a|<1/k} (k∈N)を中心をaとする半径1/kの開n次元球体,
,B[a,1/k]:={z∈C^n;|z-a|≦1/k} (k∈N)を中心をaとする半径1/kの閉n次元球体と呼ぶ事にする。
B[a,1)\B[a,1/2]≠φなのでb_1∈B[a,1)\B[a,1/2]という適当な一点が取れる。
続いてb_2∈B[a,1/2)\B[a,1/3]という適当な一点が取れる。
この時,B[a,1)\B[a,1/3]は開領域なのでb_1を始点としb_2を終点とする連続曲線γ(b_1,b_2)が採れますよね。
同様に,B[a,1/2)\B[a,1/4]\γ(b_1,b_2)も開領域なのでb_2を始点としb_3を終点とする連続曲線γ(b_2,b_3)が採れますよね。
同様に,B[a,1/3)\B[a,1/5]\γ(b_1,b_2)\γ(b_2,b_3)も開領域なのでb_2を始点としb_3を終点とする連続曲線γ(b_3,b_4)が採れますよね。
:
これらの連続曲線を順に繋いでいって,
∪_{j=1..k}γ(b_j,b_{j+1})とするb_1を始点としb_{k+1}を終点とする連続曲線γ(b_1,b_{k+1})がえんえんと伸ばせますよね(∵選択公理)。
勿論,lim_{k→∞}b_k=aとなりますね。

そこで本題ですが,

{a}∪(∪_{j=1..∞}γ(b_j,b_{j+1}))はb_1を始点としaを終点とする連続曲線γ(b_1,a)が採れると思います。

その際,Γ:[0,1]→γ(b_1,a)はという媒介変数t∈[0,1]を用いたb_1を始点としaを終点とする連続曲線ですよね?

各γ(b_j,b_{j+1})は有限の長さなので(∵γは連続写像なのでコンパクト集合[0,1]の像もコンパクトになる)
Γ:[0,1]→{a}∪(∪_{j=1..∞}γ(b_j,b_{j+1}))

Γ:[0,1/2]→γ(b_1,b_2); Γ(0):=b_1, Γ(1/2):=b_2,
Γ:[1/2,1/3]→γ(b_2,b_3); Γ(1/2):=b_2, Γ(1/3):=b_3,
:
Γ:[1/j,1/(j+1)]→γ(b_j,b_{j+1}); Γ(1/j):=b_j, Γ(1/(j+1)):=b_{j+1}
:

と定義すれば宜しいかと思います。

特にγ(b_j,b_{j+1})の長さをlとすると,Γ:[1/j,1/(j+1)]→γ(b_j,b_{j+1})を
Γ(1/j)+(1/(j+1))/2):=lの中間点,
Γ(1/j)+(1/(j+1))/3):=lを3等分した始点から1/3の地点,
:

という風に定義するとΓは全単射になると思います。如何でしょうか?

投稿日時 - 2017-03-21 04:00:41

QNo.9307632

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回答(1)

ANo.1

aとb_1を結ぶ線分が
ジョルダン開曲線となり、
ジョルダン開曲線の存在の証明は完了となるのにもかかわらず
b_2,b_3,…と余分な中間点をとっているため、
b_1とb_2を結ぶ曲線A_1と
b_2とb_3を結ぶ曲線A_2が
交わらないでA_1∪A_2が単射となるという
保証がなくなってしまうため正しくありません。
実際、添付の図のようにA_1,A_2をとれば
b_1とb_2を結ぶ(赤)曲線A_1と
b_2とb_3を結ぶ(青)曲線A_2が
交わり重なってA_1∪A_2が単射ではありません

n次元複素空間C^n
の任意の2点
a,b∈C^n
を結ぶ線分
Γ:[0,1]→C^n
Γ(t)=(1-t)a+tb
がジョルダン開曲線となり、
C^nでのジョルダン開曲線の存在の証明は完了となるので
その「長い証明」の必要はありません。

DをC^nの空でない連結な開集合とする
Dの任意の2点
a,b∈D
に対して
Γ:[0,1]→D
Γ(0)=a
Γ(1)=b
となるジョルダン開曲線Γが存在する事の証明)

ジョルダン開曲線で結ばれない2点があると仮定する
a_0∈Dとする
a_0とDにおける
ジョルダン開曲線で結ばれる点全体の集合をD_1とし
ジョルダン開曲線で結ばれない点全体の集合をD_2とし
a_0∈D_1だからD_1≠φ
ジョルダン開曲線で結ばれない2点があると仮定したのだから
D_2≠φ
D=D_1∪D_2
D_1∩D_2=φ
aをD_1の任意の点とすれば,
a_0とaを結ぶDにおけるジョルダン開曲線Γ_1が存在する
a∈DでDはC^nの開集合だから
B[a,ε)⊂Dとなる球体B[a,ε)がある
そのときxをB[a,ε)の任意の点とすれば
aとxを結ぶ線分axはB[a,ε)に含まれるから
Γ_2(t)=(1-t)a+tx∈B[a,ε)
線分axもDにおけるジョルダン開曲線Γ_2で、したがって
Γ_1∪Γ_2
はa_0とxを結ぶDにおけるジョルダン開曲線となる。
したがって
x∈D_1
∴B[a,ε)⊂D_1
よって
D_1はC^nの開集合である.
次に
a'をD_2の任意の点とすれば
B[a',ε')⊂Dとなる球体B[a',ε')がある
その時,もしB[a',ε')の点x'で
a_0とDにおけるジョルダン開曲線で結ばれるものがあれば,
そのジョルダン開曲線と線分a'x'とをつなげたものは
a_0とa'を結ぶDにおけるジョルダン開曲線となるが
それはa'∈D_2である事に矛盾する
ゆえに,B[a',ε')のどの点もa_0とDにおける
ジョルダン開曲線で結ぶ事はできない
B[a',ε')⊂D_2
よって
D_2はC^nの開集合である.
D=D_1∪D_2,D_1開,D_2開,D_1≠φ,D_2≠φだから
Dは連結でない事となって
Dが連結である事に矛盾するから
Dの任意の2点
a,b∈D
を結ぶジョルダン開曲線が存在する

投稿日時 - 2017-03-22 05:36:03